Krótka fraza do sprawdzenia

Czy "flyin' bird" w zastępstwie do "flying bird" jest poprawnie gramatycznie i ma to samo znaczenie?

Gramatycznie nie. To po prostu zapis specyficznej wymowy.W wymowie moze tak nie razic, ale w pisowni jest to forma niepoprawna, chyba, ze piszesz nieformalnie na jakims czacie...

flyin' to potoczne określenie, mozesz go używać jednak nie w formalnych dokumentach, listach, opowiadaniach

Żabciu, to nie jest potoczne określenie, tylko naśladowanie potocznej wymowy.