Mam prośbę czy mógłby mi ktoś sprawdzić, czy dobrze mam przetłumaczone takie zadanie? Bardzo zależy mi na tym, by ktoś mi sprawdził i ewentualnie wskazał co mam źle. Z góry bardzo dziękuj.
Zadanie brzmi następująco:
Udowodnij, że X / Y z topologią ilorazową jest liniowo-topologiczna. Czy potrzebne jest założenie, że X jest domknięte?
Rozwiązanie: Na podstawie propozycji mówiącej, że:
Niech X będzie przestrzenią topologiczną wektorową, a M-liniową podprzestrzenią X. Rozważmy X / Y wyposażoną w topologię ilorazową. Następujące własności są równoważne:
1) M jest zbiorem domkniętym,
2) X / Y jest Hausdorffa.
oraz korzystając z wniosku, który mówi nam, że:
Dla przestrzeni topologicznej wektorowej X mamy następujące równoważności :
a) X jest Hasduorffa,
b) przekrój wszystkich otwartych otoczeń początku układu współrzędnych 0 jest równy {0},
c){ 0} jest zbiorem domkniętym,
udowodnijmy, że X / Y z topologią ilorazową, jest liniowo-topologiczna.
Zauważmy, że przestrzeń topologiczno wektorowa {0} jest zbiorem domkniętym i jednocześnie wszystkie zbiory jednoelementowe są zbiorami domkniętymi (a więc są przestrzenią [tex]T_1[/tex]. b) jest równoważna z tym, że dopełnienie X/Y jest zbiorem otwartym w odniesieniu do topologii ilorazowej.Jednak dopełnienie zbioru w X/Y jest dokładnie obrazem przez [tex]\phi[/tex] dopełnienia Y w X. Ponieważ \phi jest zbiorem otwartym ciągłym, a [tex]\phi[/tex] jest dopełnieniem zbioru Y w X i zbiorem otwartym w X/Y, wtwg dopełnienie w Y w X jest zbiorem otwartym, czyli X jest Hausdorffa.
a po angielsku ,,2.2.4. For a t.v.s. X the following are equivalent:
a)X is Hausdorff
b) the intersection of all neighbourhoods of the origin o is just {o}
c){0} is closed.''
,,Let X be a t.v.s. and M a linear subspace of X. Consider X/M endowed with the quotient topology. Then the two following properties are equivalent:
a)M is closed
b) X/M is Hausdorff
Proof.
In view of Corollary 2.2.4, (b) is equivalent to say that the complement of the origin in X/M is open w.r.t. the quotient topology. But the complement of the origin in X/M is exactly the image under [tex]\phi[/tex] of the complement of M in X.
Since [tex]\phi[/tex] is an open continuous map, the image under [tex]\phi[/tex] of the complement of M in X is open in X/M iff the complement of M in X is open, i.e.(a) holds.